6. Medição de deformação, tensão, força e movimento

A medição da deformação, da tensão, da força e do torque estão intimamente relacionadas. Primeiro porque a medição de tensão se faz atravéz da medição da deformação: mede-se a deformação e então determina-se a tensão aplicando-se a lei de Hooke. E segundo, porque a medição de força se realiza, da forma mais frequente na atualidade, através de uma medição da tensão com o uso de células de carga eletrônicas. O torque é uma medida derivada: conhecendo-se a força aplicada e a distância entre seu ponto de aplicaçao e um centro de giro, calcula-se o torque.

Antes de discutirmos como medir estas grandezas, vamos definir a deformação. Para tanto, considere a barra mostrada na figura abaixo. Preso à barra, mas separado dela por limitadores colocados nas extremidades, está um fio de dimensão fina. O fio está esticado e preso pelos limitadores, e seu comprimento é l.

Figura 1. Definição de deformação

A barra, que inicialmente estava sem carga, recebe então uma carga em sua posição central e se deforma, como mostra a figura. O fio, consequentemente, também se deforma axialmente, e passa a ter um comprimento (l+dl). A deformação e, por definição, é

Considere agora um cilindro maciço de área de seção transversal circular Ac submetido à tração uni-axial (unidimensional) exercida pela força FN, mostrado na figura abaixo. Na figura a seguir está também o diagrama de corpo livre ilustrando as forças internas aplicadas ao cilindro sob tensão unidimensional. Nele está a definição de tensão, sa, que é a razão entre a força aplicada FN sobre a área Ac, sa= FN / Ac.

Figura 2. Carregamento axial de eixo

6.1 Medição de deformação e tensão

Para obter a tensão sA agindo sobre a área AC, normalmente utiliza-se um método indireto, através da medição da deformação e. A deformação, e mesmo deformações muito pequenas, é medida com o uso de extensômetros (strain gages). E a tensão é então calculada com a lei de Hooke,

Na lei de Hooke a constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação é o módulo de elasticidade, também conhecido como módulo de Young, E. Assim, a lei de Hooke estabelece uma relação linear entre a tensão e a deformação, linearidade que não se mantém à medida em que a deformação atinge altos valores. Em um diagrama tensão-deformação típico, a lei de Hooke só é válida na região elástica de tensão, na qual o carregamento é reversível. Acima do limite elástico, o material começa a se comportar irreversivelmente na região denominada de deformação plástica, onde a lei de Hooke não mais se aplica.

Figura 3. Deformação vs tensão, lei de Hooke

 

A medição de deformação é usualmente realizada com extensômetros: uma pequena superfície metálica que é colada no corpo do material que se deformará. A deformação do extensômetro é medida por variação da sua resistência elétrica na medida em que ele compõe parte de um circuito eletrônico. Considere então um condutor metálico com propriedades uniformes e que tenha resistência R. A resistência elétrica do condutor é calculada de (após Lord Kelvin, em 1856)

onde r é a resistividade do condutor (também chamada de resistência específica, isto é, uma propriedade do material do condutor), L é o comprimento do condutor e A é a área de seção transversal do condutor. Se diferenciamos a equação anterior e dividirmos todos os termos por R, obteremos

Note que esta equação relaciona variações de resistência elétrica do condutor com variações de resistividade (o chamado termo piezoresistivo), com a deformação axial do condutor (ea = dL/L) e com a variação da área de seção transversal A. Veremos a seguir que dA/A e dL/L estão relacionados. Assim, se a variação de resistividade do condutor é pequena, estando ele sob carga ou não, pode-se pensar em medir a deformação de um condutor metálico medindo-se a variação de sua resistência elétrica, estando ele sem carregamento ou com carregamento.

Vejamos então como a deformação axial e a variação da área transversal se relacionam. O termo dA/A pode ser escrito:

onde et é a deformação transversal (ou lateral) do condutor. É importante mencionar aquí que quando o material está sob carregamento unidimensional, a sua seção transversal pode variar. Isto é, o material está sob carregamento axial e lateral, o qual é definido por (dD/D). A razão entre as deformações transversal e axial é o chamado módulo de Poisson, n. E o que é ainda mais importante, o módulo de Poisson, da mesma forma que a resistividade e que o módulo de elasticidade, é uma propriedade do material do condutor: 

Desta forma, então, relacionamos a variação de resistência elétrica do condutor com a deformação axial

 Há ainda a considerar a variação relativa da resistividade e do módulo de Poisson, mas estas são influências secundárias se o material não estiver sendo submetido a carregamentos extremos (por exemplo, oscilando em alta frequência, o que pode resultar em aquecimento do elemento), isto é, estes termos devem ser constantes na faixa de carregamento do material. 

Mas como medir com extensômetros? Inicialmente deve-se selecionar o extensômetro dentre os ofertados por fabricantes. A variável básica é o denominado fator do extensômetro, K, fornecido nos catálogos dos fabricantes. O fator do extensômetro é a razão entre a variação relativa da resistência e a deformação axial, (dR/R/ea). O extensômetro é então instalado (colado) no material que sofrerá carregamento e ligado ao circuito eletrônico (ponte de Wheatstone) que o alimentará e medirá. O material é submetido ao carregamento, a variação relativa da resistência, dR/R, será medida, e a deformação axial poderá ser calculada. Usando então a lei de Hooke, a tensão poderá ser calculada. 

É importante desenvolver a equação final da operação do extensômetro em termos do fator de carregamento K, para mostrar a influência do termo piezoresistivo (o que contém a variação relativa da resistividade do material) no cálculo:

O último termo à direita do sinal de igualdade é o termo piezoresistivo, o qual se espera manter constante durante o carregamento do material. A figura abaixo, extraída do catálogo da Kiowa, mostra a aplicação de extensômetros em operações de carregamento de material: torção, flexão, compressão, etc.

Figura 4. Algumas aplicações de extensômetros (de catálogo da Kiowa)

Nas figuras seguintes estão alguns exemplos de extensômetros, de catálogo da MFL.

Figura 5. Extensômetros "dual" da MFL

Figura 6. Extensômetro "rosette" (roseta) da MFL

A roseta é usada quando se deseja medir as três componentes planas da deforrmação, pois o extensômetro só pode medir efetivamente a deformação em uma direção. Assim, para determinar as três componentes independentes de uma deformação plana, três medidas linearmente independentes devem ser realizadas por três extensômetros, com a forma de roseta.

E na Figura 7 está um extensômetro simples da Vishay para medição de deformações unidimensionais ao longo do eixo principal do extensômetro.

Figura 7. Extensômetro simples da Vishay

 

E a ponte eletrônica da qual o extensômetro é uma parte, como opera? O importante então é pensar que, antes de tudo, o extensômetro é um resistor. Opera como um resistor independentemente do material do qual é feito, se metálico ou semi-condutor; da sua forma construtiva, se fio metálico ou chapa; se feito de fio, este pode ser redondo ou oval, etc, etc. E as formas dos extensômetros podem ser muitas, dependendo da aplicação a que se destinam. Mas o importante é ter em mente que o extensômetro é, independentemente das múltiplas escolhas que se possa ter, feito de filamentos metálicos. Para sua operação ele é colado ao material que será carregado estática ou dinamicamente, mas passa também a ser um elemento resistor de uma ponte de Wheatstone.

A figura abaixo ilustra uma ponte de Wheatstone, com o extensômetro sendo um dos resistores. A voltagem de alimentação é Ei, Eo é a voltagem lida nos bornes indicados e dEo é a variação de voltagem devido à variação dR da resistência do extensômetro (resultante de carga aplicada ao material). Este tipo de circuito é denominado de 1/4 de ponte, pois um extensômetro substitue somente uma das resistências.

 

Figura 8. Circuito elétrico da ponte de Wheatstone

O equacionamento da ponte produz

Se todos os resistores fixos e o extensômetro têm resistências iguais antes do carregamento do material e então é aplicada uma carga,

Isto é, a variação da resistência, dR/R, da qual se necessita para calcular a deformação está agora associada à variação relativa da voltagem em uma ponte de Wheatstone. Os exemplos a seguir ilustram a seleção e a aplicação de extensômetros.

 

Exemplo 1: Um extensômetro de fator K = 2 está montado em uma barra de aço retangular, que tem módulo de elasticidade E = 200 x 106 kN/m2. A barra tem 3 cm de largura e 1 cm de altura e está sob a ação de uma força de tração de 30 kN. Determine a variação de resistência do extensômetro se sua resistência sem carga é 120 ohms.

Primeiro o cálculo da tensão, s = F/A, s = 1,0 x 10-5 kN/m2;

após, o cálculo da deformação com a equação de Hooke, e = s / E = 5,0 x 10-4 m/m.

A variação relativa da resistência, dR/R, é o produto da deformação com o fator do extensômetro, K:

dR/R = e K = 1,0 x 10-3 ohm/ohm

 

Exemplo 2: Um extensômetro tem resistência nominal de 120 ohms e um fator K = 2,06. Está instalado em uma ponte de Wheatstone como a que está descrita acima, que tem resistores de 120 ohms. Qual será a saída de voltagem da ponte com uma deformação de 1000 mstrain se a alimentação da mesma é de 3 Volts?

Inicialmente, se temos todos os resistores iguais na ponte e então o material e o extensômetro são sujeitos à deformação,

dEo/Ei = (dR/R) / 4. Lembrar também que ea = (dR/R) / S. Assim,

dEo/Ei = ea S / 4. E então, dEo = ea S Ei / 4 = 1000 x 10-6 x 2,04 x 3 / 4 = 1,545 mVolts.

 

 

6.2 Medição de força e torque

Inicialmente cabe diferenciar massa e força: massa é uma propriedade inercial, a medida de quantidade de matéria de um corpo. Força é uma quantidade vetorial associada à massa, necessária para mudar a quantidade de movimento do corpo. Como todos sabemos, massa e força se relacionam através da Segunda Lei de Newton.

É interessante notar que, na prática, a medição de força ou é realizada com instrumentos relativamente simples, como a balaça de braço ou o dinanômetros de mola, ou com as células de carga de extensômetros. A célula de carga é um dispositivo mecânico/eletrônico que usa o extensômetro para medir deformação e então tensão e força. Atualmente, as células de carga de extensômetro tornaram-se de uso disseminado com sua adoção em balanças comerciais (as balança eletrônicas das padarias, dos supermercados, etc) têm custo quase imbatível na montagem de um sistema de medição de força.

Entretanto, o método mais simples de se medir uma força é compará-la com uma força conhecida, gerada por uma massa conhecida. Isto pode ser realizado em uma balança de pivot central ou na balança de massa deslizante. Os esquema estão na figura abaixo.

(a)

(b)

Figura 9. Balança de pivot central (a) e balança de massa deslizante (b).

Outro método simples usa a balança de mola mostrada na figura a seguir.

 

Figura 10. Balança de mola

Siga o dimencionamento de uma balança de mola helicoidal. Vamos projetar uma balança de mola para capacidade máxima de 50 N com a deflexão total de 10 cm. Baseado na especificações, a constante da mola, k, é igual a k = (50/10) = 5 N/cm. A equação de deflexão comumente usada para molas helicoidais é k = (Ed4/8nD3), sendo E o módulo elástico torcional da mola, d o diâmetro do material da mola, D o diâmetro do helicóide e n o número de espiras. Se a mola é feita de aço (E=80 x 109 Pa), d = 2 mm e D = 2 cm, o número de espiras necessárias é n=40.

Outro dispositivo para medir força é o transformador diferencial variável linear (TDVL, ou LVDT na nomenclatura inglesa, Linear Variable Differential Transducer). O TDVL é constituído por uma série de indutores construídos em um cilindro ôco, dentro no qual se desloca um cilindro sólido. Os indutores são formados por enrolamentos elétricos. O deslocamento do cilindro sólido interno produz um sinal elétrico proporcional à sua posição. O TDVL pode ser usado em vários tipos de dispositivos mecânicos que necessitem de converter uma posição física em um sinal elétrico. A ausência de atrito entre o cilindro externo e o cilindro central garantem uma vida longa ao dispositivo e assegura uma excelente resolução.

Figura 11. Esquema do TDVL

As células de carga são atualmente os dispositivos de medição de força mais utilizados. E dentre elas, a célula de carga de extensômetros domina o mercado. Entretanto deve-se mencionar que há células de carga que operam com outros princípios que não sejam a medição da deformação com extensômetros: as células de carga de carbono e as células de carga de fluidos estão entre elas, veja na figura a seguir.

Na célula de carbono, a compressão do carbono altera sua condutividade elétrica e então altera a tensão Eo medida no circuito elétrico. No caso da célula de fluido, a compressão exercida sobre o fluido é medida no manômetro e utilizada para calcular a força F.

(a)

(b)

Figura 12. Células de carga de carbono e de fluido

Na figura 4 mostramos algumas aplicações de extensômetros. As duas que reproduzimos a seguir são muito utilizadas para construir células de carga para medição de torque e força de compressão.

Figura 13. Montagem de extensômetro para construção de torquímetro (à esquerda) e célula de carga de compressão (à direita)

A figura 14 mostra um modelo de célula de carga com extensômetro, da Vishay, usado tanto para compressão quanto para tensão e, na sequência, detalhes de uma célula de carga cilíndrica (do livro de Elgar, Sensors for measurement and control, Ed. Longman).

 

r

 

Figura 14. Células de carga da Vishay e esquema construtivo de célula de carga cilíndrica

E a Figura 15 mostra um sensor de torque da Omega(um torque sensor meter, em outras palavras, uma célula de carga usada para medir torsão e então torque).

Figura 16. Um sensor de torque da Omega

Para medir o torque em um sistema não-rotativo, o método mais simples é medir a força no ponto de aplicação e multiplicá-la pela distância entre ele e o centro de rotação. No caso de máquinas ou sistemas rotativos, vários métodos são utilizados para medir o torque: colocar a máquina rotativa em balanço e medir seu torque reativo; usar um freio de Prony (atrito seco), veja figura abaixo, do livro de Turner e Hill, 1999.

Figura 16. Freio de Prony

 

6.2 Medição de movimento

O instrumento de medição de movimento de uso mais disseminado é o micrômetro tipo relógio comparador. São adequados para medidas locais, e não podem medir deslocamentos com mudança de direção. Os deslocamentos que medirão devem ser acessíveis pelo fuso.

Figura 17. Relógio comparador

Um instrumento elétrico que mede movimento é o potenciômetro linear. O potenciômetro é um dispositivo na forma de uma resistência elétrica variável. A figura abaixo mostra um esquema de um potenciômetro linear e o circuito elétrico equivalente. Ele consiste de um fuso deslizante que corre ao longo do comprimento de uma resistência elétrica. Este fuso deslizante pode ser conectado à peça que se move e ter o deslocamento medido. Evidentemente restrições se aplicam, como o comprimento de deslizamento estar limitado ao comprimento da resistência. Com relação ao circuito mostrado na figura, uma voltagem Vi é aplicada através de todo o comprimento da resistência, pontos A e C. A voltagem de saída é medida através de um dos polos A ou C e a haste deslizante, ponto B.

Figura 18. Potenciômetro linear

Exercício: Considere o potenciômetro linear mostrado na figura acima, no qual o fuso se encontra na posição mediana. A voltagem de entrada é 5 volts e a voltagem de saída é 2,5 volts. O comprimento da resistência é 100 mm. O deslocamento de um objeto provoca o deslocamento do fuso, de tal forma que a voltagem de saída muda para 2,65 volts. Determine o deslocamento do objeto e a direção para a qual de move.

Solução:

Vi = 5 volts, AC = 100 mm. Logo a variação da voltagem em relação ao deslocamento é:

Voltagem relativa = 5 / 100 = 0,05 V/mm

Se a voltagem de saída varia de 2,5 Volts para 2,65 Volts, isto é, 0,15 volts, o deslocamento do objeto é

Deslocamento = 0,15/0,05 = 3mm

O deslocamento de 3 mm ocorre na direção de A desde que a voltagem cresceu.

A versão circular do potenciômetro linear está mostrada na figura seguinte.

 

Figura 19. Potenciômetro circular

 

O transformador linear diferencial é constituído por três resistências elétricas cilíndricas (bobinas) dispostas ao longo de um eixo. A resistêncial central é chamada de resistência primária, as outras duas nos extremos são as resistências secundárias. Um cilindro de aço é colocado no centro, podendo se deslocar livremente na direção de ambas as resistências secundárias. Assuma, inicialmente, que o núcleo de ferro está posicionado simetricamente em relação ao conjunto. A resistência primária é energizada com uma corrente AC de frequência elevada (usualmente acima de 5 kHz). A corrente que então flui produz um fluxo magnético no núcleo ferroso central. Este fluxo se acopla com as resistências secundárias, produzindo uma f.e.m. Como estas resistências estão ligadas, as f.e.ms têm a mesma magnitude e se cancelam. Caso o núcleo ferroso se desloque, f.e.ms serão diferentes e há o registro de uma voltagem de saída V0.

Figura 20. Transformador linear diferencial

Um encoder ótico é um transdutor no qual um deslocamento linear ou angular varia a transmissão da luz de uma fonte para um detector. Os encoders são incrementais ou absolutos. A figura seguinte mostra um típico encoder incremental. É constituído por um disco que gira solidário com um eixo, sendo que o disco tem inúmeras janelas, igualmente espaçadas, na sua periferia. Uma fonte de luz (LEDs, por exemplo) e um detector são posicionados em ambos os lados do disco de forma que o raio luminoso passe pelas janelas. Quando o raio luminoso passa pela janela quando o disco gira, um sinal é gerado pelo detector.

Figura 21. Encoder ótico

 

Um tacômetro é um dispositivo usado para medir a rotação de um eixo (da palavra grega takhos, que significa velocidade). Há diversos tipos de tacômetros, mecânicos ou elétricos. Os tacômetros mecânicos eram, por exemplo, no velocímetro dos automóveis e motocicletas. Os automóveis mais recente já utilizam tacômetros elétricos e alguns os tacômetros digitais. A figura seguinte mostra tacômetro elétrico, com um magneto permanente girando no interior de uma bobina. A voltagem de saída Vo é um sinal elétrico alternado cuja frequência e amplitude são ambas proporcionais à magnitude da velocidade de rotação. Usando processamento adequado do sinal, ambas frequência e amplitude podem dar uma indicação da velocidade.

 

Figura 22. Tacômetro elétrico

 

Para medir rotação pode-se utilizar também o sensor de proximidade de relutância variável, também conhecidos por pick-up magnético. Operam associados a um disco dentado de material ferroso, que gira solidário a um eixo. Alimentado elétricamente, a extremidade do pick-up, que é uma enrolamento elétrico (bobina) através do qual passa uma corrente, gera um campo magnético. O fluxo do campo magnético é alterado pela presença dos dentes da engrenagem. Esta alteração é medida e registrada por um circuito elétrico adequado.

Figura 23. "Pick-up" magnético