Apostila de Termodinâmica I

Apostila de termodinâmica I. Texto: Prof. Dr. José Tomaz Vieira Pereira Capítulo 4: Volume de Controle - Análise Energética Introdução Embora alguns dispositivos como turbinas, bombas e compressores, através dos quais há fluxo de massa, possam ser analisados como sistema fechados, é normalmente mais simples adotar o ponto de vista do "Volume de Controle" para analisar esses dispositivos. O principal objetivo deste capítulo é estabelecer e ilustrar o uso dos princípios de conservação da massa e da energia para volumes de controle.   4.1. Conservação de massa para V.C. Modelo de escoamento unidimensional   4.1.1.Desenvolvimento do balanço do fluxo de massa Uma determinada quantidade de massa m, ocupa diferentes regiões em função do tempo, como ilustrado nas figuras seguintes. tempo (t), massa do sistema -> m= mvc(t) + mi massa do vol. controle -> mvc(t) tempo (t+Deltat), massa do sistema -> m = mvc(t) + mc massa do vol. controle -> mvc(t+Deltat) m = mvc(t) + mi = mvc(t+Deltat) + mc mvc(t+t) - mvc(t) = mi - mc logo, (mvc(t+t) - mvc(t)) / Deltat = mi / Deltat + mc / Deltat Para Deltat -> 0, o sistema fechado e o volume de controle coincidem (ver do ponto de vista físico) Se existirem muitas entradas e muitas saídas do volume de controle o balanço dos fluxos instantâneos pode assumir o formato de somatório.   4.1.2. Formas do balanço do fluxo de massa. Em muitos casos pode ser conveniente expressar o balanço de massa em função das propriedades locais. Fluxo instantâneo de massa através de toda a área A: Assim o balanço da massa pode ser escrito O estudo detalhado do princípio da conservação da massa é usualmente feito em Mecânica dos Fluídos e adota-se em termodinâmica formas mais simplificadas. Fluxo unidimensional:     EXEMPLO 4.1 Um alimentador de água quente opera em Regime Permanente e tem 02 entradas e 01 saída. Na entrada 1, vapor d'água entra a P1 = 7 bar e T1 = 200 ºC, com um fluxo de massa m1ponto = 40 kg/s. Na entrada 2, entra água líquida na pressão P2 = 7 bars, e temperatura T2 = 40 ºC, através de uma área A2 =25 cm2. Pela única saída escoa líquido saturado com uma vazão (fluxo volumétrico) de VA = 0,06 m3/s. Determine o fluxo de massa na entrada 2(m2ponto) e na saída (m3ponto) e a velocidade na entrada 2 em m/s. Solução: Respostas: m2ponto = 14,15 Kg/s; m3ponto = 54,15 Kg/s; V2 = 5,7 m/s   4.2. Conservação da energia para um V.C. O desenvolvimento das equações de balanço de energia para V.C. é efetuado de modo similar àquele feito para o balanço de massa.   4.2.1. Desenvolvimento do balanço de energia para um V.C. E(t) = Energia do Sistema no tempo (t) E(t) = Evc(t) + mi.ei E(t) = Evc(t) + mi.(ui Vi2 / 2 + g.zi) E(t + Deltat) = Energia do Sistema no tempo (t + Deltat) E(t + Deltat) = Evc(t + Deltat) + me.ee E(t + Deltat) = Evc(t + Deltat) + me.(ue Ve2 / 2 + g.ze) Balanço de Energia para o Sistema: Passando ao limite com Deltat -> 0 Assim a equação para o balanço de energia para um V.C. fica:   4.2.2. Trabalho para um Volume de Controle Wd = Fvetor.dvetor    dvetor = Vevetor.Deltat Trabalho associado ao deslocamento do fluido, no tempo Deltat: Wd = Pe.Ae.Ve.Deltat A taxa de realização do trabalho de deslocamento é Wd / Deltat = Pe.Ae.Ve Assim, separando o trabalho associado do deslocamento do fluido dos outros trabalhos (eixo, elétrico, etc), temos:   4.2.3. Forma do balanço do fluxo de energia para um VC Sabemos que: u + Pv = h. Logo: Para várias entradas e saídas a equação fica A variação da energia do Volume de Controle é dada pelo balanço das taxas de energia que cruzam a fronteira do volume de controle. Os mecanismos são: Calor e Trabalho, como nos sistemas fechados energia associada aos fluxos de massa que cruzam as fronteiras   4.3. Análise para Volume de Controle em Regime Permanente   4.3.1. Balanços de Fluxo de Massa e Energia Para operação em Regime Permanente dEvc / dt = 0   4.3.2. Ilustrações Bocais e difusores     EXEMPLO 4.2 Vapor entra em um bocal que opera em Regime Permanente com Pi = 40 bars e Ti = 400 ºC e velocidade de entrada Vi = 10 m/s. O bocal é isolado e praticamente não há troca de calor com o ambiente. Na saída, a pressão é P2 = 15 bars e a velocidade é V2 = 665 m/s. Para um fluxo de massa de 2 kg/s determine a área de saída do bocal, em m2. Solução: Figura pg. 127 Dados: Pi = 40 bars Ti = 400 ºC Vi = 10 m/s P2 = 15 bars V2 = 665 m/s Equação da conservação da massa: Equação da conservação da energia: Hipóteses: Regime Permanente Bocal Isolado Qvcponto = 0 Trabalho Só o trabalho de escoamento que está incluído no valor da entalpia h = u + pv Energia potencial Se o bocal é horizontal: DeltaPE = 0 Se não horizontal: DeltaPE = 0 Diferença de cota entre entrada e saída é pequena Uma entra e uma saída logo miponto = m2ponto = mponto Determinar a área de saída: É necessário conhecer o estado (2): Logo , h2 = (V12 - V22) / 2 + h1 (1) Tab. A.4 -> hi = 3213,6 kJ/kg De (1), h2 = 2992,5 kJ/kg Tab. A.4., P2 = 15 bars -> v2 = 0,1627 m3/kg A2 = Aponto.v2 / V2 = 4,89.10-4 m2 Resposta: A2 = 4,89.10-4 m2 Comentários: Tomar cuidado para converter as unidades de energia cinética específica: m2 / s2 para kJ / kg Embora as relações para estado de equilíbrio sejam aplicadas na entrada e na saída, os estados do fluido não são necessariamente de equilibrio entre os estados (1) e (2) e são representados por uma linha tracejada. Turbinas Turbina é um dispositivo que realiza trabalho como resultado da passagem de um gás ou um líquido através das pás que são fixadas em um eixo.     EXEMPLO 4.3 Vapor entra em uma turbina que opera em Regime Permanente com um fluxo de massa de 4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de 1000 kW.,br> A pressão na entrada é de 60 bars, a temperatura é de 400 ºC e a velocidade é de 10 m/s. Na saída a pressão é de 01, bars, o título é 0,9 (90%) e a velocidade é 50m/s. Calcular a taxa de transferência de calor entre a turbina e o ambiente, kW. Solução: Figura fl. 129 Equação da conservação da massa: Equação da conservação da energia: Como estamos em regime permanemte: Tab. A.4 -> h1 = 3177,2 KJ/Kg Tab. A.3 hf2 = 191,83 kJ/kg hfg2 =2392,8 kJ/kg h2 = hf2 + x2.hfg2 Portanto: h2 = 2345,4 Deltah = -831,8 kJ/kg DeltaKE / mponto = (V12 - V22) / 2 = 1,3 kJ/kg Utilizando a equação da conservação da energia para regime permanente, temos Que Qvcponto = -61,3 kW Resposta: Q = -61,3 kW Dispositivos de estrangulamento Uma significativa redução de pressão á conseguida por um estrangulamento na tubulação onde o fluxo passa. Isso é usualmente feito através da abertura parcial de uma válvula ou pela introdução de um "plug" poroso, como ilustrado nas figuras. Não há usualmente transferência significativa de calor para (do) ambiente e a variação de energia potencial é desprezada. Aplicando a conservação da energia: h1 + V12 / 2 = h2 + V22 / 2 Embora as velocidades nas vizinhanças da redução sejam significativamente elevadas, os experimentos realizados mostram que as variações de Energia são desprezíveis resultando para o balanço da energia: h1 = h2   4.4. Análise de Transitórios Muitos dispositivos passam por períodos transitórios de operação, nos quais o estado da massa que entra e que sai varia durante os períodos de operação transiente.     EXEMPLO 4.4 Dois décimos de libra de ar a 2 atm e 540 ºR são mantidos dentro de uma seringa por um êmbolo em uma extremidade e por uma válvula reguladora na outra. A válvula reguladora é aberta e o êmbolo se move para injetar o gás dentro de um reservatório que contém inicialmente 1 lb de ar a 1 atm e 540 ºR. O êmbolo mantém o estado de gás injetado constante até que todo ele passe pela válvula reguladora. Desprezando os efeitos de transferência de calor para a vizinhança e também os efeitos de energia cinética e potencial, determine a temperatura de equilíbrio em ºR, a pressão em lbf/pol2 do gás no reservatório após a injeção de todo o ar da seringa. Use o modelo de gás ideal para o ar. Solução: Figura fl. 141 Hipóteses: V.C. engloba o recipiente e a válvula controladora de fluxo. O estado do ar da seringa permanece inalterado até que ele passe pela válvula controladora. Qvcponto = 0 Wvcponto = 0 DeltaKE = DeltaPE = 0 Considerar o ar como gás ideal. Os estados inicial e final do ar no recipiente são estados de equilíbrio. Conservação da massa: dmvc / dt = miponto Aplicando a conservação da energia: dUvc / dt = hi.dmvc / dt hi -> relacionada com o ar que está na seringa. Por hipótese: hi = constante hi = h(Ts), Ts = temperatura do ar na seringa Com: Tf = temperatura final e Tc = temperatura inicial DeltaUvc = Ufvc - Uivc = (mc + ms).cv.Tf - mc.cv.Tc = ms.cp.Ts k varia de 1,383 para T = 500 ºR até 1,377 para T = 600 ºR Considerando como uma primeira aproximação k médio: kmed = 1,380 Tf = 574,2 ºR Como a temperatura variou de 540 ºR até 574,2 ºR vamos tomar um valor de kmed, entre essas duas temp. 557 ºR. Temos então Tf = 574 ,2 ºR A pressão final é calculada pela equação dos gases perfeitos. P.v = R.T ou Pf.V = m.R.Tf Como V permanece constante, Pf = 18,76 psi Respostas: Tf = 574 ,2 ºR ; Pf = 18,76 psi     EXEMPLO 4.5 Vapor a pressão de 15 bar e temperatura de 320 ºC está contido em um grande tanque. Uma turbina que descarrega em um pequeno vaso, inicialmente evacuado, de volume 0,6 m3, está conectada ao tanque grande, de vapor. A válvula é aberta e o pequeno vaso é cheio com vapor até a pressão de 15 bar e temperatura de 400 ºC. A válvula é então fechada. O processo de enchimento é adiabático e as variações de energia cinética e potencial podem ser desprezadas. Determine o trabalho desenvolvido pela turbina, em kJ. Solução: Figura Fl. 143 Hipóteses V.C. compreende a válvula, a turbina e o tanque pequeno O estado do vapor no tanque grande permanece constante O estado do vapor no final do processo, no tanque pequeno é um estado de equilíbrio A quantidade de massa dentro da turbina e tubos de conecção é desprezível Qvcponto = 0 DeltaKE = DeltaPE =0 Conservação da massa: dmvc / dt = miponto Conservação da energia hi = constante (hipótese(2)) Wvcponto = hi.dmvc /dt - dUvc / dt Logo, Wvc = mvc.(hf - uf) Com Pi = 15 bars e Ti = 320 ºC -> hi = 3081,9 kJ/kg e vi = 0,1765 m3/kg Com Pf = 15 bars e Tf = 400 ºC -> uf = 2951,3 kJ/kg e vi = 0,2030 m3/kg mvc = V / vf = 2,956 kg Logo, Wvc = 386 kJ/kg Resposta: Wvc = 386 kJ/kg Comentários: Este problema é interessante para verificar a influência do trabalho de escoamento. Se o tanque pequeno fosse conectado diretamente ao tanque grande, sem a turbina, a temperatura final no tanque seria 477 ºC, para a mesma pressão final.     Capítulo 4 de 6